Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике ABC градусная мера угла В, лежащего против основания, равна 120°, а отрезок BF — медиана этого треугольника. Прямая b проходит через точку F и параллельна стороне ВС. Найдите расстояние между прямыми ВС и b, если известно, что AF = а.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник $ABF$. Так как $BF$ является медианой, то $BF = frac{1}{2}AC$. Также, так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AC = BC$. Значит, $BF = frac{1}{2}BC$.
Так как угол $B$ равен 120 градусам, то угол $A$ равен $30$ градусам (так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам). Значит, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABF$. Пусть $H$ — точка пересечения прямых $BF$ и $AC$. Так как $b$ параллельна стороне $BC$, то угол $FHB$ также равен $120$ градусам. Значит, угол $AHF$ равен $180 — 120 — 90 = 70$ градусам.
Теперь мы можем найти расстояние между прямыми $BC$ и $b$. Обозначим это расстояние через $d$. Так как $b$ параллельна $BC$, то угол $FHB$ является внутренним углом, а значит, $d$ является высотой треугольника $BHF$. Также, мы знаем длину медианы $BF$, которая является биссектрисой угла $B$. Значит, $BFH$ является равнобедренным треугольником, и $BH = HF$.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника $BHF$:
$$d^2 = BH^2 — BF^2 = HF^2 — frac{1}{4}BC^2$$
Мы знаем, что $HF = AF = a$, а также, что $BC = 2AC = 2BF$. Значит,
$$d^2 = a^2 — frac{1}{4}(2BF)^2 = a^2 — frac{1}{2}BF^2$$
Таким образом, чтобы найти $d$, нам нужно найти $BF$. Мы знаем, что $BF = frac{1}{2}BC$, а также, что $BC = 2AF = 2a$. Значит, $BF = a$.
Теперь мы можем выразить $d$ через $a$:
$$d^2 = a^2 — frac{1}{2}a^2 = frac{1}{2}a^2$$
$$d = frac{a}{sqrt{2}}$$
Ответ: расстояние между прямыми $BC$ и $b$ равно $frac{a}{sqrt{2}}$.
