Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 6 см, а высота BD = 9 см. Точка M равноудалена от всех вершин данного треугольника и находится на расстоянии 3 см от плоскости, в которой он лежит. Вычислите расстояние от точки M до вершины C треугольника.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то высота BD является медианой и биссектрисой. Значит, угол ABD равен углу CBD, то есть треугольник ABD подобен треугольнику BCD.
Обозначим через x длину отрезка BM и через h расстояние от точки M до вершины C. Так как точка M равноудалена от всех вершин треугольника ABC, то она лежит на пересечении трех сфер с центрами в точках A, B и C и радиусом, равным расстоянию от точки M до каждой из вершин. Так как треугольник ABC равнобедренный, то радиусы всех трех сфер равны.
Рассмотрим сферу с центром в точке B и радиусом x. Она пересекает плоскость ABC по окружности с центром в точке D и радиусом 9 см. Так как точка M находится на расстоянии 3 см от плоскости ABC, то она находится на расстоянии 6 см от центра сферы в точке B. Значит, расстояние от точки M до точки D равно 9 см.
Так как треугольник ABD подобен треугольнику BCD, то отношение сторон AB и BD равно отношению сторон BD и CD. Значит, AB/BD = BD/CD, откуда CD = BD^2/AB = 81/6 = 13.5 см.
Рассмотрим треугольник CMD. Он прямоугольный, так как точка M находится на расстоянии 3 см от плоскости ABC, а высота BD проходит через точку M. Значит, расстояние от точки M до вершины C равно √(CM^2 + CD^2) = √(x^2 + 13.5^2) см.
Итак, расстояние от точки M до вершины C треугольника ABC равно √(x^2 + 13.5^2) см.
