Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике ABC отрезки AF и СО — высоты, проведенные к боковым сторонам. Чему равна длина отрезка ВО, если ВС = m и FC = а?
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то боковые стороны AB и AC равны между собой. Обозначим эту длину как x: AB = AC = x.
Также из условия задачи известно, что AF и СО являются высотами треугольника ABC. Высота, проведенная к основанию треугольника, делит его на два равнобедренных треугольника AFB и AEC. В треугольнике AFB высота AF является медианой, а в треугольнике AEC высота СО является биссектрисой угла A.
Так как треугольник AFB равнобедренный, то медиана AF является биссектрисой угла B. Значит, угол AFB равен углу AFC, который также является биссектрисой угла A. Таким образом, угол BAC равен 2 углу AFB.
Из треугольника AFB по теореме Пифагора получаем:
$BF^2 = AB^2 — AF^2 = x^2 — left(frac{x}{2}right)^2 = frac{3}{4}x^2$
Так как высота СО является биссектрисой угла A, то отрезок СО делит сторону BC в отношении, равном отношению длин AB и AC:
$frac{BO}{OC} = frac{AB}{AC} = 1$
Значит, отрезок BO равен отрезку CO: BO = CO = y.
Из треугольника AEC по теореме Пифагора получаем:
$CE^2 = AC^2 — CO^2 = x^2 — y^2$
Так как высота СО является биссектрисой угла A, то отрезок СО делит угол BAC на два равных угла. Значит, угол AEC равен половине угла BAC, то есть углу AFB. Таким образом, треугольники AFB и AEC подобны.
Из подобия треугольников AFB и AEC получаем:
$frac{CE}{BF} = frac{AC}{AB} = 1$
$CE = BF = frac{x}{2}$
Таким образом, получаем систему уравнений:
$begin{cases}CE^2 = x^2 — y^2 \ BF^2 = frac{3}{4}x^2 \ CE = BFend{cases}$
Решая ее, получаем:
$y^2 = frac{1}{4}x^2$
$y = pmfrac{1}{2}x$
Так как отрезок BO является положительным, то:
$BO = y = frac{1}{2}x$
Из условия задачи известно, что ВС = m и FC = а. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = x. Значит, BM = BC — CM = x — m. Аналогично, AN = x — a.
Так как треугольник BMF прямоугольный, то по теореме Пифагора:
$BF^2 = BM^2 + FM^2$
$frac{3}{4}x^2 = (x — m)^2 + AF^2$
$AF^2 = frac{7}{4}m^2 — 2mx + x^2$
Аналогично, так как треугольник CNE прямоугольный, то:
$CE^2 = CN^2 + NE^2$
$frac{1}{4}x^2 = (x — a)^2 + AE^2$
$AE^2 = frac{3}{4}a^2 — ax + x^2$
Так как треугольники AFB и AEC подобны, то отношение их высот равно отношению соответствующих сторон:
$frac{AF}{AE} = frac{BF}{CE}$
$frac{sqrt{frac{7}{4}m^2 — 2mx + x^2}}{sqrt{frac{3}{4}a^2 — ax + x^2}} = frac{frac{sqrt{3}}{2}x}{frac{1}{2}x}$
$sqrt{frac{7}{3}m^2 — 4mx + 4x^2} = sqrt{3a^2 — 3ax + x^2}$
Возводим обе части уравнения в квадрат:
$frac{7}{3}m^2 — 4mx + 4x^2 = 3a^2 — 3ax + x^2$
$4x^2 — 3a^2 + 3ax — frac{7}{3}m^2 + 4mx = 0$
$4x^2 + 4mx — 3a^2 + 3ax — frac{7}{3}m^2 = 0$
$16x^2 + 16mx — 12a^2 + 12ax — frac{28}{3}m^2 = 0$
$16(x + m)^2 — 16m^2 — 12a^2 + 12ax — frac{28}{3}m^2 = 0$
$16(x + m)^2 = 12a^2 — 12ax + frac{100}{3}m^2$
$x + m = frac{sqrt{3}}{4}sqrt{3a^2 — 3ax + frac{25}{3}m^2}$
$x = frac{sqrt{3}}{4}sqrt{3a^2 — 3ax + frac{25}{3}m^2} — m$
Подставляем полученное выражение для x в уравнение для BO:
$BO = frac{1}{2}left(frac{sqrt{3}}{4}sqrt{3a^2 — 3ax + frac{25}{3}m^2} — mright) = frac{sqrt{3}}{8}sqrt{3a^2 — 3ax + frac{25}{3}m^2} — frac{m}{2}$
Таким образом, длина отрезка BO равна:
$BO = frac{sqrt{3}}{8}sqrt{3a^2 — 3ax + frac{25}{3}m^2} — frac{m}{2}$
