Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС и боковой стороной BC, соответственно равными b и a, проведены высоты к боковым сторонам. Найдите расстояния между их основаниями.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и боковой стороной BC. Проведем высоты CD и BE к боковым сторонам AB и AC соответственно.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то CD и BE являются медианами и биссектрисами этого треугольника. Также из равенства боковых сторон следует, что углы BAC и BCA равны.
Пусть H1 и H2 — основания высот CD и BE соответственно. Тогда треугольники ACH1 и BCH2 подобны, так как у них углы при вершине C равны, а углы при вершинах A и B равны в силу равенства боковых сторон.
Из подобия треугольников ACH1 и BCH2 следует, что соответствующие стороны пропорциональны:
AC/BC = CH1/BH2
Но AC = BC, так как треугольник ABC равнобедренный. Поэтому CH1 = BH2.
Таким образом, расстояние между основаниями высот CD и BE равно высоте треугольника ABC, опущенной на его основание AC. Обозначим это расстояние через h.
Из прямоугольного треугольника ACH1 следует, что:
h^2 + (b/2)^2 = a^2
Отсюда можно выразить h:
h = sqrt(a^2 — (b/2)^2)
Таким образом, расстояние между основаниями высот CD и BE равно h = sqrt(a^2 — (b/2)^2).
