Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. Найдите её длину, если периметр треугольника ABC равен 50 м, а треугольника ABD — 40 м.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABD. Так как медиана BD делит сторону AB пополам, то AB = 2*BD. Также известно, что периметр треугольника ABD равен 40 м, то есть AB + BD + AD = 40 м. Подставляя AB = 2*BD, получаем 2*BD + BD + AD = 40 м, откуда AD = 40 м — 3*BD.
Рассмотрим теперь треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то AC = BC. Пусть AC = BC = x. Тогда периметр треугольника ABC равен 2x + AB = 50 м. Подставляя AB = 2*BD, получаем 2x + 2*BD = 50 м, откуда x + BD = 25 м.
Таким образом, мы получили два уравнения: AD = 40 м — 3*BD и x + BD = 25 м. Из первого уравнения можно выразить BD через AD: BD = (40 м — AD)/3. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем x + (40 м — AD)/3 = 25 м. Решая это уравнение относительно AD, получаем AD = 15 м.
Теперь, зная AD, можем найти BD: BD = (40 м — AD)/3 = (40 м — 15 м)/3 = 8,3 м (округляем до десятых). И, наконец, по теореме Пифагора находим длину медианы BD: BD^2 = AB*AD/4, откуда BD = √(AB*AD/4) = √(2*BD*15/4) = √(15*BD) = 2,4 м (округляем до десятых).
Итак, длина медианы BD равна 2,4 м.
