Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС и высотой AD выполняется условие AD : ВС = √3. Точка Т лежит на стороне АВ так, что AT : ТВ = 1:2. Вычислите градусную меру угла ТСВ.
Ответ от учителя
Пусть угол BAC равен α, а сторона BC равна a. Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BCA также равен α. Тогда угол ABD, являющийся прямым, равен 90-α.
Так как AD является высотой, то она делит треугольник на два прямоугольных треугольника ABD и ACD. Так как AD : ВС = √3, то можно записать:
AD = √3x
AC = 2x
BD = x
Также из условия AT : ТВ = 1:2 можно записать:
AT = x/3
TB = 2x/3
Теперь рассмотрим треугольник ТСВ. Из угла ТСВ можно выразить угол ТСА, так как угол СТВ является внутренним углом треугольника АТВ:
∠ТСА = 180° — ∠СТВ — ∠АТВ
Так как треугольник АТВ равнобедренный, то угол АТВ равен 60°. Также из угла АBD можно выразить угол АБС:
∠АБС = 90° — α
Таким образом, угол ТСВ можно выразить следующим образом:
∠ТСВ = ∠ТСА — ∠АБС = (180° — ∠СТВ — 60°) — (90° — α) = 90° — ∠СТВ — α
Осталось найти угол ∠СТВ. Для этого рассмотрим треугольник ТВС. Из угла ТВС можно выразить угол ТСВ, так как угол ТВС является внутренним углом треугольника СТВ:
∠ТСВ = 180° — ∠ТВС — ∠СТВ
Так как треугольник АТВ равнобедренный, то угол ТВА равен 60°. Также из угла АBD можно выразить угол ВСТ:
∠ВСТ = α
Таким образом, угол ТВС можно выразить следующим образом:
∠ТВС = 180° — 60° — α — ∠ВСТ = 120° — 2α
Теперь подставим найденные значения в формулу для угла ТСВ:
∠ТСВ = 90° — (120° — 2α) — α = 2α — 30°
Осталось найти угол α. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:
x^2 + (AD)^2 = (AB)^2
x^2 + 3x^2 = (2x)^2
4x^2 = 4x^2
x = a/√3
Таким образом, сторона BC равна:
BC = 2x = 2a/√3
Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
BC/sinα = AC/sinα = AB/sin2α
2a/√3sinα = 2a/sin2α
sin2α = √3/2
2α = 60°
Таким образом, угол α равен 30°, а угол ТСВ равен:
∠ТСВ = 2α — 30° = 60° — 30° = 30°
Ответ: угол ТСВ равен 30°.
