Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике ABC стороны АВ и ВС равны, отрезки AT и CF — медианы треугольника ABC. Докажите, что ΔAFC=ΔCTA (рис. 76, а).
Ответ от учителя
Для доказательства равенства треугольников ΔAFC и ΔCTA необходимо и достаточно показать, что они имеют равные площади.
Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то у него равны два угла при основании AB и BC. Значит, угол BAC равен углу BCA. Также, так как AT и CF являются медианами, то они делят стороны BC и AB пополам, соответственно. Обозначим точку пересечения медиан как M.
Так как AM является медианой, то она делит сторону BC пополам, то есть BM=MC. Аналогично, так как CM является медианой, то AM=MC. Значит, AM=MC=BM, то есть точка M является точкой пересечения высот и медиан треугольника ABC, то есть она является центром описанной окружности треугольника ABC.
Таким образом, треугольник AFC является прямоугольным, так как угол AFC равен 90 градусов (так как AM является высотой), а угол ACF равен углу BCA (так как CF является медианой). Аналогично, треугольник ACT является прямоугольным, так как угол ACT равен 90 градусов (так как CM является высотой), а угол CAT равен углу BAC (так как AT является медианой).
Так как AM является радиусом описанной окружности, то она равна половине длины стороны AB, то есть AM=BM=MC=BC/2. Значит, треугольники AFC и ACT имеют равные катеты AF и AC, а также равные гипотенузы AM. Значит, они равны по гипотенузе и катету, то есть ΔAFC=ΔCTA.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ΔAFC и ΔCTA равны, что и требовалось доказать.
