Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС градусная мера угла при вершине В равна α. Найдите длину биссектрисы СТ этого треугольника, если АС = а.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник АВС:
Так как треугольник АВС равнобедренный, то угол ВАС также равен α.
Пусть СТ — биссектриса угла ВСА. Тогда угол ВСТ равен углу ВАС/2, то есть α/2.
Также из свойств биссектрисы известно, что отношение длины биссектрисы к длине основания треугольника равно отношению длин двух других сторон треугольника, составляющих этот угол. То есть:
СТ/АС = ВТ/ВС
Найдем ВТ. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ВСА:
ВС² = АВ² + АС² — 2·АВ·АС·cosα
Так как треугольник АВС равнобедренный, то АВ = ВС, а значит:
ВС² = 2·АВ² — 2·АВ²·cosα
ВТ² = ВС² — СТ²
ВТ² = 2·АВ² — 2·АВ²·cosα — СТ²
Теперь можем выразить СТ через АС и α:
СТ/АС = ВТ/ВС
СТ/а = √(2·АВ² — 2·АВ²·cosα — ВТ²)
СТ/а = √(2·АВ² — 2·АВ²·cosα — (ВС² — СТ²))
СТ/а = √(2·АВ² — 2·АВ²·cosα — (2·АВ² — 2·АВ²·cosα — СТ²))
СТ/а = √(4·АВ²·cosα — СТ²)
СТ²/а² = 4·АВ²·cosα — СТ²
СТ² + а² = 4·АВ²·cosα
СТ² = 4·АВ²·cosα — а²
Таким образом, длина биссектрисы СТ равна √(4·АВ²·cosα — а²).
