Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане ВД отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС – точки М и N соответственно. Известно, что ВКМ = ВКN, ВМК=110о. а) Найдите угол ВNК; б) Докажите, что прямые МN и ВК взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник ВКМ. Угол ВКМ = 110°, а угол ВКН = ВКМ (по условию). Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол КВН = 180° — 110° — ВКМ = 70°. Также, так как треугольник АВС равнобедренный, то угол ВАС = 180° — 2 угла ВАС = 180° — 2 угла ВКМ = 180° — 2 * 110° = -140°. Значит, угол ВНК = 180° — угол КВН — угол ВАС = 180° — 70° — (-140°) = 50°.
б) Рассмотрим треугольник ВКН. Угол ВКН = ВКМ = 110° (по условию), а угол ВНК = 50° (по пункту а). Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол КНВ = 180° — угол ВКН — угол ВНК = 180° — 110° — 50° = 20°. Рассмотрим теперь треугольник МНК. Угол МКН = угол ВКМ = 110° (по условию), а угол МНК = угол ВНК = 50° (по пункту а). Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол НКМ = 180° — угол МКН — угол МНК = 180° — 110° — 50° = 20°. Значит, углы КНВ и НКМ равны, а значит, прямые МН и ВК пересекаются под углом 90° (по свойству пересекающихся прямых). Таким образом, прямые МН и ВК взаимно перпендикулярны.
