Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС серединный перпендикуляр стороны АС пересекает основание ВС в точке М. Найдите САМ, если АВС = 43. Постройте точку на боковой стороне равнобедренного треугольника, равноудаленную от основания и другой боковой
Ответ от учителя
Так как треугольник АВС равнобедренный, то у него две равные стороны: АВ и АС. Пусть длина стороны АВ равна х, тогда длина стороны АС также равна х. Так как М — середина стороны ВС, то МВ = МС = х/2. Также из условия задачи следует, что М перпендикулярен к АС, то есть угол МАС прямой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник МАС. Из него можно выразить длину стороны АМ по теореме Пифагора:
АМ² = МС² + СА²
Так как угол МАС прямой, то МС = х/2, а СА = х. Подставляем в формулу:
АМ² = (х/2)² + х²
АМ² = 5х²/4
АМ = х√5/2
Таким образом, длина стороны АМ равна х√5/2. Осталось найти значение х.
Из условия задачи известно, что периметр треугольника АВС равен 43. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон:
43 = АВ + АС + ВС
43 = х + х + ВС
43 = 2х + ВС
ВС = 43 — 2х
Также из условия задачи следует, что треугольник АВС равнобедренный, то есть АВ = АС = х. Подставляем в формулу для периметра:
43 = х + х + ВС
43 = 2х + (43 — 2х)
43 = 43
Уравнение верно для любого значения х, так как ВС = 43 — 2х.
Таким образом, длина стороны АВС равна х, а длина стороны АМ равна х√5/2. Построим точку на боковой стороне равнобедренного треугольника, равноудаленную от основания и другой боковой.
Для этого проведем серединный перпендикуляр к стороне АВ, который пересечет сторону ВС в точке N. Точка N будет равноудалена от сторон АВ и АС.
Так как треугольник АВС равнобедренный, то серединный перпендикуляр к стороне АВ проходит через точку М. Проведем этот перпендикуляр и найдем точку пересечения с стороной ВС:
МН = ВН = ВМ = х/2
Таким образом, точка N находится на расстоянии х/2 от точки В.
Также из условия задачи известно, что ВС = 43 — 2х. Подставляем это значение и находим координаты точки N:
x/2 = (43 — 2х)/2
x = 43 — 2х
3х = 43
х = 43/3
Таким образом, длина стороны АВС равна 43/3, а длина стороны АМ равна (43/3)√5/2. Построим точку N на стороне ВС, которая равноудалена от сторон АВ и АС.
Для этого проведем серединный перпендикуляр к стороне АВ, который пересечет сторону ВС в точке N:
МН = ВН = ВМ = (43/3)/2 = 43/6
Таким образом, точка N находится на расстоянии 43/6 от точки В.
