Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит боковую сторону на отрезки, длины которых равны 30 см и 25 см. Вычислите периметр треугольника
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, а боковая сторона равна b. Тогда по условию задачи, биссектриса угла при основании делит боковую сторону на отрезки длины 30 см и 25 см. Обозначим точку деления боковой стороны на отрезки как M.
Так как биссектриса делит угол при основании на два равных угла, то треугольник AMB также является равнобедренным, где AM = BM = b/2.
По теореме Пифагора в треугольнике AMB:
(AB)^2 = (AM)^2 + (BM)^2 = (b/2)^2 + (b/2)^2 = b^2/2
Так как AB = a (основание треугольника), то:
a^2 = b^2/2
b = √2a
Теперь можем выразить длины отрезков AM и MB через a:
AM = BM = b/2 = √2a/2
Таким образом, периметр треугольника равен:
P = a + 2b = a + 2√2a = a(1 + 2√2)
Осталось найти значение a. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике AMB:
(AB)^2 = (AM)^2 + (BM)^2 — 2(AM)(BM)cos(∠AMB)
a^2 = 2(√2a/2)^2 — 2(√2a/2)(√2a/2)cos(∠AMB)
a^2 = 2a^2/2 — 2a^2/2cos(∠AMB)
cos(∠AMB) = 1/2
Так как треугольник AMB равнобедренный, то ∠AMB = 90° — ∠A/2. Тогда:
cos(90° — ∠A/2) = 1/2
sin(∠A/2) = 1/2
∠A/2 = 30°
∠A = 60°
Таким образом, a^2 = 2a^2/2 — 2a^2/2cos(60°) = 3a^2/4
a = 4/3√2 * √2 * 25 = 100/3 см
P = a(1 + 2√2) = 100/3(1 + 2√2) ≈ 173,2 см
Ответ: периметр треугольника ≈ 173,2 см.
