Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10 см.
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковые стороны делятся точками касания вписанной окружности в отношении 7:5. Обозначим длину боковых сторон через 7x и 5x соответственно.
Так как треугольник равнобедренный, то высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой. Пусть она равна h.
Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания, высотой и радиусом вписанной окружности, имеем:
$(5x)^2 = h^2 + r^2$
$(7x)^2 = h^2 + r^2$
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
$(7x)^2 — (5x)^2 = 4x^2 = h^2$
Также из подобия треугольников можно выразить высоту через основание и боковые стороны:
$h = frac{2S}{a} = frac{2cdotfrac{1}{2}ah}{a} = frac{bh}{a}$
$h = frac{10cdotsqrt{4x^2}}{10} = 2x$
Теперь можем найти радиус вписанной окружности:
$r = frac{S}{p} = frac{frac{1}{2}ah}{a + 2h} = frac{5xcdot 2x}{10 + 4x} = frac{10x^2}{10 + 4x}$
Так как боковые стороны делятся точками касания в отношении 7:5, то:
$7x + 5x = 2r + 10$
$12x = frac{20x^2}{10 + 4x} + 10$
$12x(10 + 4x) = 20x^2 + 100 + 40x$
$120x + 48x^2 = 20x^2 + 100 + 40x$
$28x^2 — 80x + 100 = 0$
$7x^2 — 20x + 25 = 0$
$x = frac{20 pm sqrt{20^2 — 4cdot7cdot25}}{2cdot7} = frac{5}{7}, frac{5}{3}$
Так как длина боковых сторон должна быть больше основания, то выбираем решение $x = frac{5}{3}$.
Теперь можем найти периметр треугольника:
$P = 10 + 2cdot7x = 10 + 2cdot7cdotfrac{5}{3} = frac{100}{3}$
Ответ: периметр треугольника равен $frac{100}{3}$ см.
