Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK=16см отрезок EF— биссектриса, ∠DEF= 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD
Ответ от учителя
Так как треугольник DEK равнобедренный, то у него две равные стороны: DE и EK. Пусть их длина равна x. Тогда DK = 16 см.
Так как EF — биссектриса угла DEK, то она делит угол DEK на две равные части. Обозначим угол DEK через α. Тогда угол DEF равен α/2.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол EKD равен (180-α)/2.
Теперь мы можем применить теорему синусов к треугольнику DEF:
sin(α/2) / EF = sin(43°) / DE
sin(α/2) / EF = sin(43°) / x
EF = x * sin(α/2) / sin(43°)
Также мы можем применить теорему косинусов к треугольнику DEK:
x^2 = 16^2 + 2 * 16 * x * cos(α/2)
x^2 = 256 + 32x * cos(α/2)
Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно x и α. Для этого можно, например, подставить выражение для EF из первого уравнения во второе:
(x * sin(α/2) / sin(43°))^2 = 256 + 32x * cos(α/2)
x^2 * sin^2(α/2) / sin^2(43°) = 256 + 32x * cos(α/2)
x^2 * (1 — cos^2(α/2)) / sin^2(43°) = 256 + 32x * cos(α/2)
x^2 / sin^2(43°) — x * 64 * cos(α/2) / sin^2(43°) — 256 = 0
Это квадратное уравнение относительно x. Решив его, мы найдем значение x и, следовательно, EF.
KF является высотой треугольника DEF, опущенной на сторону EF. Мы можем найти ее, используя формулу для площади треугольника:
S = 1/2 * EF * KF * sin(α/2)
KF = 2S / EF / sin(α/2)
Теперь мы можем найти углы DEK и EFD, используя соответствующие формулы для треугольников DEK и DEF:
sin(DEK) = EK / DK = x / 16
DEK = arcsin(x / 16)
EFD = 180° — α — DEK
Таким образом, мы можем найти все искомые значения в равнобедренном треугольнике DEK с биссектрисой EF и углом DEF, равным 43°.
