Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике длина одной стороны равна 25 см, а другой — 10 см. Докажите, что сторона, длина которой равна 10 см, не может быть боковой стороной.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC и BC = 25 см. Пусть сторона, длина которой равна 10 см, является боковой стороной и лежит между вершинами A и C. Обозначим эту сторону как BD.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BM, проведенная из вершины B к стороне AC, является биссектрисой угла ABC и перпендикулярна стороне AC. Также из свойств равнобедренного треугольника следует, что точка M, в которой медиана BM пересекает сторону AC, является серединой этой стороны.
Таким образом, мы получаем, что BM = MC = AC/2 = 25/2 = 12.5 см.
Теперь рассмотрим треугольник BDC. Из неравенства треугольника следует, что сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны. Применяя это неравенство к треугольнику BDC, получаем:
BD + DC > BC
10 + DC > 25
DC > 15
Таким образом, мы получаем, что сторона DC, которая является другой боковой стороной треугольника ABC, должна быть больше 15 см.
Однако мы знаем, что точка M является серединой стороны AC и BM = MC = 12.5 см. Таким образом, сторона DC не может быть больше 15 см, так как в этом случае точка M окажется за пределами отрезка DC.
Таким образом, мы пришли к противоречию: сторона DC не может быть больше 15 см, но должна быть больше 15 см, чтобы удовлетворять неравенству треугольника BDC. Следовательно, предположение о том, что сторона BD является боковой стороной, неверно.
