Вопрос школьника
В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC и проведена медиана AM к боковой стороне BC. Пусть точка D — середина стороны BC. Тогда AM является высотой треугольника ADM и медианой треугольника ABC.
Так как треугольник ADM — прямоугольный, то по теореме Пифагора:
$AD^2 = AM^2 — DM^2$
Также, по свойству медианы:
$4AM = 2AB$
$AM = frac{AB}{2}$
Из этих двух уравнений можно выразить AM через DM:
$AM^2 = frac{AB^2}{4} = DM^2 + (AD+DM)^2$
$AB^2 = 16$
$AM^2 = 9$
$DM^2 = AM^2 — (AD+DM)^2 = 9 — (frac{4}{2})^2 = 5$
Так как D — середина стороны BC, то BD=DC=2. Из прямоугольного треугольника BDM можно выразить BM:
$BM^2 = BD^2 — DM^2 = 4 — 5 = -1$
Так как BM — отрезок, то полученное уравнение не имеет решений. Значит, такой треугольник не существует.
