В равнобедренном треугольнике с периметром 81 см проведена высота к основанию. Точка Q делит высоту в отношении 7: 2 и равноудалена от сторон. Найдите стороны

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

В равнобедренном треугольнике с периметром 81 см проведена высота к основанию. Точка Q делит высоту в отношении 7: 2 и равноудалена от сторон. Найдите стороны треугольника и расстояние до них от точки Q.

Ответ от учителя

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $a$, а боковая сторона равна $b$. Тогда периметр треугольника равен $2b+a=81$.

Высота $h$ проведена к основанию и делит его на две части в отношении $7:2$. Пусть более длинная часть равна $7x$, тогда менее длинная часть равна $2x$. Тогда $h=7x+2x=9x$.

Так как треугольник равнобедренный, то высота $h$ является медианой и биссектрисой. Точка $Q$ делит высоту на отрезки $7x$ и $2x$, значит, она делит медиану и биссектрису в том же отношении. Таким образом, $Q$ является центром вписанной окружности треугольника.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Тогда по формуле радиуса вписанной окружности $r=frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — полупериметр. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S=frac{ah}{2}=frac{9ax}{2}$. Тогда $r=frac{9ax}{2}cdotfrac{1}{frac{2b+a}{2}}=frac{9ax}{2b+a}$.

Так как точка $Q$ равноудалена от сторон треугольника, то она находится на биссектрисе угла при основании. Пусть расстояние от точки $Q$ до стороны $a$ равно $d_a$, а расстояние от точки $Q$ до стороны $b$ равно $d_b$. Тогда по свойству биссектрисы $frac{d_a}{d_b}=frac{a}{b}$.

Так как точка $Q$ является центром вписанной окружности, то $d_a=r$, а $d_b=r$. Тогда $frac{r}{r}=frac{a}{b}$, откуда $a=b$.

Из уравнения на периметр $2b+a=81$ и условия $a=b$ получаем $a=b=27/3=9$.

Таким образом, стороны треугольника равны $a=b=9$ см. Радиус вписанной окружности равен $r=frac{9cdot 7x}{2b+a}=frac{63x}{11}$ см. Расстояние от точки $Q$ до сторон равно $d_a=d_b=r=frac{63x}{11}$ см.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *