Вопрос школьника
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность с центром P, PC=6, PD=8, найти радиус окружности, и среднюю линию трапеции
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник PCD. Он является прямоугольным, так как радиус окружности, вписанной в трапецию, является перпендикуляром к основанию трапеции. Также из условия задачи известны катеты треугольника PC=6 и PD=8. Используя теорему Пифагора, найдем гипотенузу треугольника:
$PC^2 + PD^2 = CP^2 + DP^2$
$6^2 + 8^2 = CP^2 + DP^2$
$100 = CP^2 + DP^2$
Так как P является центром вписанной окружности, то радиус окружности равен расстоянию от центра до боковой стороны трапеции. Рассмотрим треугольник PAB. Он также является прямоугольным, так как боковая сторона трапеции является высотой треугольника. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, мы можем найти гипотенузу треугольника PAB:
$PA^2 + PB^2 = AB^2$
$PA^2 + PB^2 = (BC — AD)^2$
$PA^2 + PB^2 = (BC + AD)^2 — 4BC cdot AD$
Так как трапеция ABCD является равнобедренной, то BC=AD. Подставим это значение в последнее уравнение:
$PA^2 + PB^2 = 4BC^2 — 4BC^2$
$PA^2 + PB^2 = 0$
Таким образом, мы получили, что $PA=PB=0$, то есть центр вписанной окружности лежит на средней линии трапеции. Средняя линия трапеции является средним арифметическим ее оснований:
$MN = frac{BC + AD}{2}$
$MN = frac{BC + BC}{2}$
$MN = BC$
Таким образом, средняя линия трапеции равна основанию BC, то есть $MN=BC=AD=7$.
Чтобы найти радиус окружности, нужно найти расстояние от центра P до боковой стороны трапеции. Рассмотрим треугольник PCD. Он является прямоугольным, так как радиус окружности, вписанной в трапецию, является перпендикуляром к основанию трапеции. Также из условия задачи известны катеты треугольника PC=6 и PD=8. Используя теорему Пифагора, найдем гипотенузу треугольника:
$PC^2 + PD^2 = CP^2 + DP^2$
$6^2 + 8^2 = CP^2 + DP^2$
$100 = CP^2 + DP^2$
Таким образом, гипотенуза треугольника PCD равна $sqrt{100}=10$. Радиус окружности равен половине гипотенузы треугольника PCD, то есть $r=frac{10}{2}=5$.
Итак, радиус вписанной окружности равен 5, а средняя линия трапеции равна 7.
