Вопрос школьника
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания
Ответ от учителя
Пусть трапеция ABCD имеет меньшее основание AB и большее основание CD. Так как трапеция равнобедренная, то её диагонали AC и BD равны. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда известно, что площадь трапеции равна:
S = (AB + CD) * h / 2,
где h — высота трапеции. Так как трапеция равнобедренная, то её высота проходит через точку O и делит её на две равные части. Таким образом, можно записать:
S = (AB + CD) * AO,
или
2000 = (AB + CD) * AO.
Также известно, что периметр трапеции равен:
P = AB + CD + 2 * AC = AB + CD + 2 * BD.
Так как диагонали равны, то можно записать:
P = AB + CD + 2 * AC = AB + CD + 2 * sqrt{2} * AB = (1 + 2sqrt{2}) * AB + CD.
Из этих двух уравнений можно выразить AB и CD через AO:
AB = frac{2000}{AO} — CD,
CD = (1 + 2sqrt{2}) * AB — P + AB = (3 + 2sqrt{2}) * AB — 200.
Подставляя выражение для CD в первое уравнение, получаем квадратное уравнение относительно AB:
2000 = (frac{2000}{AO} — CD + CD) * AO = (frac{2000}{AO} — (3 + 2sqrt{2}) * AB + 200) * AO,
или
AO^2 — (3 + 2sqrt{2}) * AB * AO + 2000 = 0.
Решая это уравнение относительно AB, получаем:
AB = frac{AO^2 — 2000}{AO * (3 + 2sqrt{2})}.
Теперь можно найти расстояние от точки O до меньшего основания AB:
h = sqrt{AO^2 — (frac{AB}{2})^2} = sqrt{AO^2 — (frac{AO^2 — 2000}{2(3 + 2sqrt{2})})^2}.
Таким образом, расстояние от точки O до меньшего основания AB равно:
h = sqrt{frac{2AO^4 — 4000AO^2 + 2000^2}{(3 + 2sqrt{2})^2}}.
