Вопрос школьника
В равнобедренный треугольник, длина боковой стороны которого равна 18 см, а длина основания — 12 см, вписана окружность. К ней проведена касательная, параллельная основанию. Вычислите длину отрезка касательной, который ограничен точками пересечения с боковыми сторонами.
Ответ от учителя
Рассмотрим данный треугольник:
Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Пусть $h$ — высота треугольника, тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:
$$AB^2 = BC^2 — h^2$$
Так как $AB = AC$, то $BC = 18$ см, а $AB = AC = frac{12}{2} = 6$ см. Подставляем значения:
$$6^2 = 18^2 — h^2$$
$$h^2 = 18^2 — 6^2 = 288$$
$$h = sqrt{288} = 12sqrt{2}$$
Теперь рассмотрим вписанную окружность. Пусть $O$ — ее центр, $D$ — точка касания с боковой стороной $AB$, $E$ — точка касания с боковой стороной $AC$. Так как $OD$ и $OE$ являются радиусами окружности, то они равны между собой и равны расстоянию от центра окружности до основания треугольника. Обозначим это расстояние через $r$.
Так как $OD$ и $OE$ параллельны основанию, то треугольники $ABD$ и $ACE$ подобны треугольнику $ABC$ в соотношении сторон:
$$frac{AB}{AD} = frac{AC}{AE}$$
$$frac{6}{r} = frac{6}{r + x}$$
где $x$ — длина отрезка касательной, ограниченного точками $D$ и $E$. Решаем уравнение относительно $x$:
$$6(r + x) = 6r$$
$$x = rleft(frac{6}{r} — 1right) = 6 — r$$
Осталось найти значение $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$:
По теореме Пифагора:
$$r^2 = AD cdot OD = frac{1}{2} cdot AB cdot OD = frac{1}{2} cdot 6 cdot r$$
$$r = 4sqrt{2}$$
Теперь можем найти длину отрезка касательной:
$$x = 6 — r = 6 — 4sqrt{2} approx 0.343$$
Ответ: длина отрезка касательной, ограниченного точками пересечения с боковыми сторонами, равна примерно 0.343 см.
