Вопрос школьника
В равнобедренный треугольник с основанием 24 и боковой стороной 20 вписана окружность. Найдите длину отрезка, заключенного между двумя сторонами треугольника, параллельного третьей стороне и касающегося окружности
Ответ от учителя
Для начала, найдем высоту равнобедренного треугольника. Высота проходит из вершины треугольника, перпендикулярно к основанию, и делит треугольник на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами 12 и 10 (половина основания и половина боковой стороны) гипотенуза (высота) равна:
$h = sqrt{12^2 + 10^2} = sqrt{244} = 2sqrt{61}$
Теперь рассмотрим вписанную окружность. Она касается всех трех сторон треугольника. По свойству касательной, отрезок, проведенный от точки касания до точки пересечения с боковой стороной, будет равен радиусу окружности. Радиус окружности равен половине высоты, то есть:
$r = frac{1}{2}h = sqrt{61}$
Теперь нарисуем отрезок, параллельный третьей стороне и касающийся окружности. Этот отрезок будет проходить через точку касания окружности и боковой стороны, а также через середину третьей стороны (так как треугольник равнобедренный). Обозначим середину третьей стороны как точку М.
Чтобы найти длину отрезка, нужно найти расстояние между точками касания и М. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, где один катет равен половине третьей стороны (12), а другой катет равен разности половины третьей стороны и радиуса окружности (12 — $sqrt{61}$):
$d = sqrt{12^2 — (frac{1}{2}(12 — sqrt{61}))^2} = sqrt{61}$
Таким образом, длина отрезка, заключенного между двумя сторонами треугольника, параллельного третьей стороне и касающегося окружности, равна $sqrt{61}$.
