Вопрос школьника
В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противоположного угла лежит на основании треугольника. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и высотой $h$. Пусть $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AD=BD$ и $angle ADB=angle BDA=alpha$, где $alpha$ — угол при вершине $C$.
Пусть $F$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $DECF$. Так как $DEparallel AB$, то $angle CFE=angle CBA=alpha$. Также заметим, что $CF=FE$, так как $DECF$ — параллелограмм.
Теперь рассмотрим треугольник $CFB$. Он равнобедренный, так как $CF=FB$ (это следует из того, что $CF=FE$ и $BE=EC$). Значит, $angle CFB=angle BCF=alpha$.
Таким образом, мы получили, что в треугольнике $CFB$ два угла равны $alpha$, а значит, третий угол также равен $alpha$. Значит, треугольник $CFB$ равнобедренный, и $FC=FB$.
Таким образом, мы доказали, что $FC=FB=FE$, то есть $F$ — середина стороны $BC$.
Теперь заметим, что $DE=BC=2hcdotsinalpha$, так как $BC$ — основание треугольника $ABC$, а $h$ — высота. Значит, периметр параллелограмма $DECF$ равен $2(DE+CF)=4hcdotsinalpha+2FC=4hcdotsinalpha+2FB=4hcdotsinalpha+2FE$.
Но $FE$ — это половина периметра треугольника $ABC$, так как $F$ — середина стороны $BC$. Значит, $2FE=AB+BC+AC$, и мы получаем, что периметр параллелограмма $DECF$ равен $4hcdotsinalpha+AB+BC+AC$, то есть является постоянной величиной для данного треугольника.
