Вопрос школьника
В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O1 и около него описана окружность с центром O2. Докажите, что точки О1 и O2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
Ответ от учителя
Для начала, заметим, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, является одновременно медианой и биссектрисой. Это следует из того, что биссектриса делит основание треугольника на две равные части, а медиана делит его на два равных треугольника.
Таким образом, точка пересечения высот, медиан и биссектрис (центр описанной окружности) лежит на оси симметрии треугольника, которая является серединным перпендикуляром к его основанию.
Теперь рассмотрим вписанную окружность. Она касается каждой стороны треугольника в ее середине, а значит, центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Также заметим, что центр вписанной окружности лежит на расстоянии, равном радиусу окружности, от каждой стороны треугольника.
Аналогично, центр описанной окружности лежит на пересечении высот треугольника и на расстоянии, равном радиусу окружности, от каждой стороны треугольника.
Таким образом, центры вписанной и описанной окружностей лежат на пересечении биссектрис и высот треугольника, а также на расстоянии, равном радиусу соответствующей окружности, от каждой стороны треугольника. Значит, они лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.
