Вопрос школьника
В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 км и 11 см. Найдите периметр трапеции.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — равнобокая трапеция, где AB || CD, AD = BC. Пусть E — точка пересечения диагоналей AC и BD. Так как диагональ BD является биссектрисой угла ABD, то угол ABE равен углу DBE. Так как трапеция равнобокая, то угол ABD равен углу BCD. Значит, угол ABE равен углу BCD. Так как диагональ AC делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 км и 11 см, то AE = 7 км 11 см и EC = 7 км 11 см.
Так как трапеция равнобокая, то средняя линия трапеции MN параллельна основаниям AB и CD и равна полусумме оснований. Значит, MN = (AB + CD) / 2. Так как AB || CD, то угол ABE равен углу CDE. Значит, треугольники ABE и CDE подобны. Так как AE / EC = 1, то AB / CD = 1. Значит, AB = CD. Таким образом, MN = AB.
Пусть x = AB = CD = MN. Тогда EC = 2x — 7 км 11 см и AD = BC = x. Так как AE и BD являются высотами треугольников ACD и ABC соответственно, то
$AE = sqrt{AD^2 — DE^2} = sqrt{x^2 — (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2}$
$BD = sqrt{BC^2 — CD^2} = sqrt{x^2 — (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2}$
Так как E — точка пересечения диагоналей, то AC = AE + EC и BD = BD + DC. Значит, периметр трапеции ABCD равен
$P = AB + BC + CD + AD = 2x + x + 2x — 7text{ км }11text{ см} + x = 5x — 7text{ км }11text{ см}$
Значит, чтобы найти периметр трапеции, нужно найти x. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ADE и BDE:
$(AE + BD)^2 = AD^2 + DE^2 + BE^2$
$(sqrt{x^2 — (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2} + sqrt{x^2 — (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2})^2 = x^2 + (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2 + (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2$
$2x^2 — (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2 = x^2 + (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2 + (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2$
$x^2 = (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2 + (frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2$
$x^2 = 2(frac{2x — 7text{ км }11text{ см}}{2})^2$
$x^2 = 2(frac{4x^2 — 56x — 121text{ км}^2 242text{ см}^2}{4})$
$x^2 = 2x^2 — 28x — 60text{ км}^2 121text{ см}^2$
$x^2 = 28x + 60text{ км}^2 121text{ см}^2$
$x^2 — 28x — 60text{ км}^2 121text{ см}^2 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$x = frac{28 pm sqrt{28^2 + 4 cdot 60text{ км}^2 121text{ см}^2}}{2} = 14 pm sqrt{196 + 60text{ км}^2 121text{ см}^2}$
Так как x — длина отрезка, то x > 0. Значит, x = 14 + $sqrt{196 + 60text{ км}^2 121text{ см}^2}$.
Тогда периметр трапеции равен
$P = 5x — 7text{ км }11text{ см} = 5(14 + sqrt{196 + 60text{ км}^2 121text{ см}^2}) — 7text{ км }11text{ см} approx 75text{ км } 55text{ см}$
Ответ: периметр трапеции равен примерно 75 км 55 см.
