Вопрос школьника
В равнобокой трапеции диагонали являются биссектрисами тупых углов и в точке пересечения делятся в отношении 13:5, считая от вершин острых углов. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12 см.
Ответ от учителя
Пусть $ABCD$ — равнобокая трапеция, где $AB parallel CD$, $AD = BC$, $AC$ и $BD$ — диагонали. Пусть точка пересечения диагоналей обозначена буквой $O$. Так как диагонали являются биссектрисами тупых углов, то $angle AOC = angle BOD = 90^circ$. Пусть $AE$ и $BF$ — высоты трапеции, опущенные на основания $CD$ и $AB$ соответственно.
Так как $AB parallel CD$, то $angle AEB = angle CFD = 90^circ$. Также $angle AEO = angle BFO = 45^circ$, так как диагонали делятся в отношении $13:5$. Значит, треугольники $AEO$ и $BFO$ являются прямоугольными и равнобедренными, то есть $AE = EO$ и $BF = FO$.
Пусть $x = EO = AF$ и $y = FO = BE$. Тогда $AC = 13x$ и $BD = 5y$. Так как $AD = BC$, то $13x + 5y = 2h$, где $h$ — высота трапеции. Подставляя $h = 12$ см, получаем $13x + 5y = 24$.
Также из прямоугольных треугольников $AEO$ и $BFO$ следует, что $AB = AE + BE = 2x + 2y$. Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то $AB = CD$. Пусть $z = CD$. Тогда $z = AB = 2x + 2y$.
Площадь трапеции можно выразить через ее основания и высоту: $S = frac{(AB + CD)h}{2} = frac{(2x + 2y + z)h}{2} = (x + y + frac{z}{2})h$.
Найдем $x$ и $y$ из системы уравнений:
$$begin{cases} 13x + 5y = 24 \ z = 2x + 2y end{cases}$$
Решая эту систему, получаем $x = frac{12}{13}$ см, $y = frac{36}{65}$ см и $z = frac{120}{65}$ см.
Тогда площадь трапеции равна:
$$S = left(frac{12}{13} + frac{36}{65} + frac{120}{65 cdot 2}right) cdot 12 = frac{936}{65} approx 14.4 text{ см}^2$$
Ответ: площадь трапеции равна $frac{936}{65}$ квадратных сантиметров.
