Вопрос школьника
В равностороннем треугольнике ABC отрезок FT проходит через точку О пересечения медиан и параллелен стороне АС (рис. 117, а). Вычислите площадь четырёхугольника AFTC, если длина стороны треугольника ABC равна 2√3 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длину отрезка FT и вычислить площадь четырёхугольника AFTC.
Поскольку треугольник ABC равносторонний, то медиана AM (где M — середина стороны BC) также является высотой и биссектрисой. Поэтому точка О, через которую проходит отрезок FT, является точкой пересечения биссектрисы угла BAC и высоты AM. Таким образом, мы можем использовать свойства равностороннего треугольника для нахождения длины отрезка FT.
Пусть точка P — середина стороны AB. Тогда треугольник AFP также является равносторонним, и мы можем вычислить длину отрезка FT как разность длин отрезков AP и AT:
FT = AP — AT
Длина отрезка AP равна половине длины стороны AB, то есть 2√3/2 = √3 см. Длина отрезка AT равна половине длины стороны AC, то есть √3 см. Поэтому:
FT = √3 — √3 = 0
Таким образом, отрезок FT имеет нулевую длину, что означает, что точка T совпадает с точкой О. Четырёхугольник AFTC становится трапецией с основаниями AC и FT, боковыми сторонами AF и CT и высотой, проходящей через точку О.
Поскольку треугольник ABC равносторонний, то высота AM равна √3/2 см. Также мы знаем, что отрезок FT проходит через точку О, поэтому высота трапеции равна √3/2 см. Длина основания AC равна 2√3 см, а длина основания FT равна 0 см. Поэтому площадь четырёхугольника AFTC равна:
S = (AC + FT) * h / 2 = 2√3 * √3/2 / 2 = 3 см²
Ответ: площадь четырёхугольника AFTC равна 3 см².
