Вопрос школьника
В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Верно ли, что точки их пересечения является центром окружности, вписанной в этот треугольник?
Ответ от учителя
Да, верно.
Для начала, рассмотрим определение медианы. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а значит, все медианы также равны между собой и пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести или центром масс треугольника.
Теперь рассмотрим определение вписанной окружности. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника внутренним образом. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а значит, радиус вписанной окружности также будет равен для всех трех сторон. Таким образом, центр вписанной окружности должен находиться на пересечении медиан, так как это точка, равноудаленная от всех трех сторон треугольника.
Таким образом, точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром вписанной окружности.
