Вопрос школьника
В равносторонний треугольник АВС со стороной 20 вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности, пересекает стороны АВ и АС в точках М и N. Найдите площадь треугольника АМN, если МN=7
Ответ от учителя
Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной 20. Так как вписанная окружность касается сторон треугольника, то точки касания (М и N) делят стороны на две равные части. Таким образом, АМ = АN = ВМ = СN = 10.
Треугольник АМН — это прямоугольный треугольник, так как прямая, касающаяся окружности, проходит через центр окружности (так как треугольник равносторонний, то центр окружности совпадает с центром треугольника). Таким образом, угол АМН прямой.
Теперь можно найти высоту треугольника АМН, проведенную из вершины А к стороне МН. Так как АМ = АН = 10, то высота будет равна √(10^2 — 3.5^2) = √(100 — 12.25) = √87.75.
Теперь можно найти площадь треугольника АМН, используя формулу S = 0.5 * a * h, где a — основание треугольника (МН), h — высота, определенная выше. Таким образом, S = 0.5 * 7 * √87.75 = 15.5√87.75.
Ответ: площадь треугольника АМН равна 15.5√87.75.
