Вопрос школьника
В развернутом углу AOD проведены внутренние лучи ОВ и ОС. Найдите градусную меру угла ОАВ, если ∟ВОС = 90 ° и ∟AOK = ∟COD
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится использовать несколько свойств геометрических фигур.
Во-первых, мы знаем, что в развернутом угле сумма всех его углов равна 180°. Это означает, что ∟AOD + ∟DOE + ∟EOA = 180°, где ∟DOE и ∟EOA — это внутренние углы развернутого угла.
Во-вторых, мы знаем, что угол, образованный хордой и касательной к окружности, равен половине угла, опирающегося на эту хорду. То есть, если мы проведем касательную к окружности в точке В, то угол ∟BOV будет равен половине угла ОАВ.
Теперь мы можем приступить к решению задачи. Из условия задачи мы знаем, что ∟ВОС = 90°, а также что ∟AOK = ∟COD. Поэтому мы можем записать следующее:
∟AOD + ∟DOE + ∟EOA = 180° (свойство развернутого угла)
∟DOE + ∟EOA = 90° (так как ∟ВОС = 90°)
∟AOK = ∟COD
Мы хотим найти градусную меру угла ОАВ, который равен углу ∟BOV, поделенному на 2. Для этого нам нужно найти угол ОВО, который можно выразить через углы ∟DOE и ∟EOA:
∟BOV = ∟DOE + ∟EOA (свойство угла, образованного хордой и касательной)
Теперь мы можем выразить угол ОАВ через углы ∟AOD, ∟DOE и ∟EOA:
∟AOD + ∟DOE + ∟EOA = 180°
∟DOE + ∟EOA = 90°
∟AOK = ∟COD
∟BOV = ∟DOE + ∟EOA
∟BOV = 90° — ∟AOK (так как ∟AOK + ∟BOV = 90°)
∟BOV = 90° — ∟COD (так как ∟AOK = ∟COD)
∟BOV = 90° — ∟DOE — ∟EOA (из свойства угла, образованного хордой и касательной)
∟BOV = 90° — (90° — ∟DOE) — ∟EOA (из свойства противоположных углов)
∟BOV = ∟DOE + ∟EOA
Таким образом, мы получили, что ∟BOV = ∟DOE + ∟EOA. Подставляя это выражение в первое уравнение, мы получаем:
∟AOD + ∟BOV = 180°
∟AOD + ∟DOE + ∟EOA = 180°
∟AOD + (∟DOE + ∟EOA) = 180°
∟AOD + ∟BOV = 180°
То есть, угол ОАВ равен половине угла ОВО, который равен ∟BOV. Из последнего уравнения мы можем выразить ∟AOD:
∟AOD = 180° — ∟BOV
∟AOD = 180° — (∟DOE + ∟EOA)
∟AOD = 90° — (∟DOE/2 + ∟EOA/2)
Таким образом, мы получили, что градусная мера угла ОАВ равна половине градусной меры угла ОВО, который равен ∟DOE + ∟EOA. А угол ОАВ можно выразить через угол ОАД и углы ∟DOE и ∟EOA, используя свойства развернутого угла и угла, образованного хордой и касательной.
