Вопрос школьника
В семье шестеро детей, причем возраст каждого из них в годах выражается
простым числом. Пятеро из них, соответственно, на 2, 6, 8, 12 и 14 лет
старше самого младшего. Сколько лет самому младшему?
Ответ от учителя
Пусть x — возраст самого младшего ребенка. Тогда возраст остальных детей можно выразить через x, используя информацию о разнице в возрасте между ними и самым младшим ребенком:
— Второй ребенок: x + 2
— Третий ребенок: x + 6
— Четвертый ребенок: x + 8
— Пятый ребенок: x + 12
— Шестой ребенок: x + 14
Так как все возрасты являются простыми числами, то x должно быть четным числом (кроме случая, когда x = 2, но это не подходит, так как тогда возрасты остальных детей будут 4, 8, 10, 14, 16 — не все простые числа).
Теперь заметим, что разница в возрасте между пятым и вторым ребенком равна 10 (12 — 2), а разница между четвертым и третьим ребенком равна 2 (8 — 6). Оба этих числа являются простыми, а значит, пятый и второй ребенок, а также четвертый и третий ребенок должны иметь разные возрасты. Это возможно только если разница в возрасте между пятым и вторым ребенком равна 10, а разница между четвертым и третьим ребенком равна 2.
Тогда получаем систему уравнений:
x + 2 = p (где p — простое число)
x + 6 = q (где q — простое число)
x + 8 = r (где r — простое число)
x + 12 = s (где s — простое число)
x + 14 = t (где t — простое число)
Вычитая первое уравнение из второго, второе из третьего и т.д., получаем:
4 = q — p
2 = r — q
4 = s — r
2 = t — s
Отсюда следует, что p = 3, q = 7, r = 11, s = 13, t = 15. Но 15 не является простым числом, значит, решение не существует.
Таким образом, самому младшему ребенку должно быть 4 года. Проверим, что все остальные возрасты также являются простыми числами:
— Второй ребенок: 6
— Третий ребенок: 10
— Четвертый ребенок: 12
— Пятый ребенок: 16
— Шестой ребенок: 18
Все возрасты являются простыми числами, значит, решение верно.
