Вопрос школьника
В семи кружках расставлены числа от 1 до 7 так, что сумма четырёх чисел, расположенных в вершинах каждого четырёхугольника, составляет 13. Расставь эти же числа так, чтобы сумма четырёх чисел в вершине каждого четырёхугольника была равна 14, 15, 16, 17.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нужно использовать систему уравнений. Обозначим числа в кружках буквами A, B, C, D, E, F, G. Тогда условие задачи можно записать в виде системы уравнений:
A+B+C+D=13
A+E+F+G=13
B+E+F+C=13
D+E+G+C=13
A+B+E+G=14
A+C+F+G=15
B+D+F+G=16
C+D+E+A=17
Решим эту систему методом Гаусса. Для этого выразим одну переменную через другую в первых четырех уравнениях:
A=13-B-C-D
E=13-A-F-G
F=13-B-C-E
G=13-D-E-C
Подставим эти выражения в оставшиеся уравнения и приведем подобные слагаемые:
B+D+E=1
B+C+F=2
A+C+G=2
A+D+E=3
Теперь можно рассмотреть все возможные комбинации чисел от 1 до 7, удовлетворяющие этим уравнениям. Например, если положить B=1, то из первого уравнения следует, что D+E=12, а из первого и второго уравнений – что C+F=11. Тогда из третьего уравнения следует, что A+G=11, а из четвертого – что A+G=10, что противоречит. Аналогично можно проверить все остальные комбинации чисел.
Однако, можно заметить, что в первых четырех уравнениях сумма переменных равна 26, а в оставшихся – 8, 9, 10, 11. Это значит, что сумма всех чисел от 1 до 7 равна 26+8+9+10+11=64. Тогда можно вычислить оставшиеся числа:
A=7-B-C-D
E=7-A-F-G
F=7-B-C-E
G=7-D-E-C
Подставим эти выражения в оставшиеся уравнения и приведем подобные слагаемые:
B+D+E=1
B+C+F=2
A+C+G=2
A+D+E=3
Теперь можно перебрать все возможные комбинации чисел от 1 до 7, удовлетворяющие этим уравнениям. Например, если положить B=1, то из первого уравнения следует, что D+E=12, а из первого и второго уравнений – что C+F=11. Тогда из третьего уравнения следует, что A+G=11, а из четвертого – что A+G=10, что противоречит. Аналогично можно проверить все остальные комбинации чисел.
Однако, если положить B=2, то из первого уравнения следует, что D+E=11, а из первого и второго уравнений – что C+F=12. Тогда из третьего уравнения следует, что A+G=12, а из четвертого – что A+G=11. Это означает, что A=4, G=7, а C и D можно найти из первого и второго уравнений: C=3, D=1. Таким образом, получаем первую расстановку чисел:
A=4, B=2, C=3, D=1, E=6, F=5, G=7
Аналогично можно найти оставшиеся расстановки чисел:
Для суммы 14: A=5, B=2, C=4, D=1, E=6, F=3, G=7
Для суммы 15: A=5, B=2, C=4, D=1, E=7, F=3, G=6
Для суммы 16: A=6, B=2, C=4, D=1, E=7, F=3, G=5
Для суммы 17: A=6, B=2, C=5, D=1, E=7, F=4, G=3
Таким образом, мы нашли все возможные расстановки чисел в кружках, удовлетворяющие условию задачи.
