Вопрос школьника
В сферической лунке радиуса R находятся две точечные массы, соединённые невесомым стержнем длины 2l . Определить циклическую частоту собственных колебаний масс в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка
Ответ от учителя
Для определения циклической частоты собственных колебаний масс в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, необходимо решить задачу о колебаниях двух точечных масс, соединенных невесомым стержнем длины 2l в сферической лунке радиуса R.
Для этого воспользуемся уравнениями движения системы. Пусть m1 и m2 — массы точек, x1 и x2 — их смещения от положения равновесия в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, а θ — угол между стержнем и вертикалью. Тогда уравнения движения имеют вид:
m1x1» = -kx1 + k(l-θ)sinθ
m2x2» = -kx2 — k(l+θ)sinθ
где k — коэффициент упругости стержня, определяемый из его длины и жесткости материала.
Для решения этой системы уравнений необходимо выразить ускорения x1» и x2» через смещения x1 и x2 и угол θ. Для этого воспользуемся геометрическими соображениями и законом косинусов:
cosθ = (x1-x2)/(2l)
sinθ = sqrt(1-cos^2θ)
Тогда ускорения можно выразить следующим образом:
x1» = (-k/m1)x1 + (k/m1)(l-θ)sinθ
x2» = (-k/m2)x2 — (k/m2)(l+θ)sinθ
Для решения этой системы уравнений необходимо найти собственные частоты колебаний системы. Они определяются из уравнения:
det(A-λI) = 0
где A — матрица коэффициентов при x1 и x2, I — единичная матрица, λ — собственное значение.
Решив это уравнение, получим две собственные частоты:
ω1 = sqrt(k/m1)
ω2 = sqrt(k/m2)
Циклическая частота собственных колебаний масс в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, равна среднему геометрическому этих частот:
ω = sqrt(ω1ω2) = sqrt(k/m1m2)
Таким образом, циклическая частота собственных колебаний масс в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, зависит от коэффициента упругости стержня и масс точек. Чем больше массы точек и жесткость стержня, тем выше циклическая частота.
