Вопрос школьника
В сферу вписан равносторонний цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 16п см2. Вычислите площадь сферы.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно знать, что боковая поверхность цилиндра равна произведению его высоты на окружность основания, а площадь сферы вычисляется по формуле:
S = 4πr²,
где r — радиус сферы.
Так как цилиндр равносторонний, то его боковая поверхность представляет собой равносторонний треугольник, а значит, его высота равна:
h = (2/3) * (боковая поверхность / основание) = (2/3) * (16π / π) = 10,67 см.
Также мы знаем, что радиус цилиндра равен стороне основания, а значит, равен:
r = (сторона основания) / 2.
Так как основание равностороннего цилиндра — это круг, то его площадь равна:
Sосн = πr².
Таким образом, мы можем выразить сторону основания через радиус:
Sосн = πr² = π(2r)² / 4 = π(сторона основания)² / 4.
Отсюда получаем:
(сторона основания)² = 4Sосн / π = 64.
Следовательно, сторона основания равна 8 см, а радиус цилиндра равен 4 см.
Теперь мы можем вычислить площадь сферы:
S = 4πr² = 4π(4²) = 64π.
Ответ: площадь сферы равна 64π квадратных сантиметра.
