Вопрос школьника
В сферу вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник, длина диагонали которого равна 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол 15°. Вычислите радиус сферы.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту пирамиды и радиус вписанной сферы.
По условию задачи, каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол 15°. Так как основание пирамиды — прямоугольник, то угол между диагональю и одной из сторон равен 90°. Из этого следует, что угол между диагональю и боковым ребром равен 75° (90° — 15°).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания, боковым ребром и высотой пирамиды. Угол между диагональю и боковым ребром равен 75°, угол между диагональю и высотой равен 90°, а угол между боковым ребром и высотой равен 15°. Таким образом, мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения высоты пирамиды.
Пусть длина диагонали основания равна 8 см, а стороны прямоугольника равны a и b. Тогда по теореме Пифагора:
a^2 + b^2 = 8^2 = 64
Так как угол между диагональю и одной из сторон равен 90°, то a и b являются катетами прямоугольного треугольника. Пусть h — высота пирамиды. Тогда по теореме синусов:
h/sin(75°) = a/sin(15°)
h = a*sin(75°)/sin(15°)
Аналогично:
h/sin(75°) = b/sin(15°)
h = b*sin(75°)/sin(15°)
Следовательно, мы можем выразить a и b через h:
a = h*sin(15°)/sin(75°)
b = h*sin(15°)/sin(75°)
Подставляя эти выражения в уравнение a^2 + b^2 = 64, получаем:
h^2*(sin^2(15°)/sin^2(75°) + sin^2(15°)/sin^2(75°)) = 64
h^2 = 64/(2*sin^2(15°)/sin^2(75°))
h = 8*sin(75°)/sin(15°)
Теперь мы можем найти радиус вписанной сферы. Радиус вписанной сферы равен половине высоты пирамиды:
r = h/2 = 4*sin(75°)/sin(15°)
Ответ: радиус вписанной сферы равен 4*sin(75°)/sin(15°) см.
