Вопрос школьника
В сферу вписана прямая призма, основание которой — равнобедренный прямоугольный треугольник. Вычислите площадь сферы, если высота призмы равна 12 см, а длина диагонали меньшей грани призмы равна 13 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти радиус сферы, вписанной в данную призму. Для этого воспользуемся формулой для радиуса вписанной сферы в прямоугольную призму:
$r = frac{V}{2S}$,
где $V$ — объем призмы, $S$ — площадь поверхности призмы.
Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту:
$V = S_{triangle ABC} cdot h = frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot h = frac{1}{2} cdot 12 cdot 12 cdot 6 = 432$ см$^3$.
Для нахождения площади поверхности призмы разобьем ее на 5 граней: 2 равнобедренных треугольника и 3 прямоугольных параллелограмма. Площадь каждого треугольника равна:
$S_{triangle ABD} = frac{1}{2} cdot AB cdot AD = frac{1}{2} cdot 12 cdot 12 = 72$ см$^2$.
Площадь каждого прямоугольного параллелограмма равна:
$S_{ABFE} = AB cdot EF = 12 cdot 12 = 144$ см$^2$.
Таким образом, площадь поверхности призмы равна:
$S = 2S_{triangle ABD} + 3S_{ABFE} = 2 cdot 72 + 3 cdot 144 = 576$ см$^2$.
Теперь можем найти радиус вписанной сферы:
$r = frac{V}{2S} = frac{432}{2 cdot 576} = frac{3}{4}$ см.
Наконец, площадь сферы равна:
$S_{text{сферы}} = 4pi r^2 = 4pi cdot left(frac{3}{4}right)^2 = frac{9}{4} pi approx 7.07$ см$^2$.
Ответ: площадь сферы, вписанной в данную призму, равна примерно 7.07 см$^2$.
