Вопрос школьника
В шар вписан цилиндр. Угол между диагоналями осевого сечения равен ср. Найдите объем шара, если образующая цилиндра равна I.
Ответ от учителя
Пусть радиус шара равен R. Тогда диаметр шара равен 2R, а высота цилиндра равна I. Пусть диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются в точке O, а точки пересечения диагоналей с боковой поверхностью цилиндра обозначим как A, B, C и D.
Так как угол между диагоналями равен среднему значению углов, образованных диагоналями и осью цилиндра, то каждый из этих углов равен 90° + ср. Поэтому треугольники OAB и OCD являются прямоугольными с углами 90°, 90° + ср. и 90° — ср.
Так как OA = OC = R (так как это радиус шара), то AB = CD = 2Rsin(90° + ср.) = 2Rcos(ср.). Также, так как AD = BC = I (так как это высота цилиндра), то AC = BD = 2Rsin(90° — ср.) = 2Rcos(ср.).
Теперь мы можем найти длину диагонали осевого сечения цилиндра:
AC² + AB² = (2Rcos(ср.))² + (2Rcos(ср.))² = 8R²cos²(ср.)
Так как диагональ равна среднему значению диаметра и высоты цилиндра, то она равна √(4R² + I²). Поэтому мы можем записать уравнение:
√(4R² + I²) = 2Rcos(ср.)
Решая это уравнение относительно R, мы получаем:
R = I / (2sin(ср.))
Теперь мы можем найти объем шара:
V = (4/3)πR³ = (4/3)π(I/(2sin(ср.)))³ = (πI³)/(6sin³(ср.))
Таким образом, объем шара равен (πI³)/(6sin³(ср.)).
