Вопрос школьника
В шаре проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 8 см и 12 см от центра. Вычислите радиус шара, если длина общей хорды сечений равна 18 см.
Ответ от учителя
Пусть радиус шара равен r. Так как сечения взаимно перпендикулярны, то они делят шар на четыре части, каждая из которых является пирамидой с вершиной в центре шара. Обозначим высоты этих пирамид h1 и h2, соответственно.
Так как сечения находятся на расстоянии 8 и 12 см от центра, то можно записать:
h1^2 + 4^2 = r^2
h2^2 + 6^2 = r^2
Также известно, что длина общей хорды сечений равна 18 см. Обозначим ее через d. Тогда можно записать:
d^2 = (2r)^2 — (h1 — h2)^2
Подставим выражения для h1 и h2 из первых двух уравнений в последнее:
d^2 = (2r)^2 — ((r^2 — 16) — (r^2 — 36))
d^2 = 4r^2 — 20
Таким образом, мы получили систему из трех уравнений:
h1^2 + 4^2 = r^2
h2^2 + 6^2 = r^2
d^2 = 4r^2 — 20
Решая ее методом подстановки или методом исключения переменных, можно найти, что радиус шара равен 5 см.
