Вопрос школьника
В широкую U-образную трубку с вертикальными прямыми коленами налиты керосин плотностью pi=800 кг/м3 и вода плотностью p2= 1000 кг/м3 (см. рис.)- На рисунке b = 10 см, Н = 30 см. Определите расстояние h.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать закон Архимеда, который гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной жидкости.
В данном случае мы имеем две жидкости — керосин и воду, которые находятся в разных коленах трубки. Рассмотрим каждое колено отдельно.
1. Колено с керосином.
Обозначим высоту столба керосина в колене через h1. Тогда вес керосина, находящегося в колене, равен:
F1 = m1 * g = V1 * pi * g = S1 * h1 * b * pi * g,
где m1 — масса керосина, V1 — его объем, S1 — площадь поперечного сечения колена, g — ускорение свободного падения.
2. Колено с водой.
Обозначим высоту столба воды в колене через h2. Тогда вес воды, находящейся в колене, равен:
F2 = m2 * g = V2 * p2 * g = S2 * h2 * b * p2 * g,
где m2 — масса воды, V2 — ее объем, S2 — площадь поперечного сечения колена.
Так как трубка заполнена жидкостями, то объем каждого колена равен:
V1 = S1 * b * h1, V2 = S2 * b * h2.
Таким образом, суммарная сила Архимеда, действующая на трубку, равна:
FА = F1 + F2 = S1 * h1 * b * pi * g + S2 * h2 * b * p2 * g.
Согласно условию задачи, трубка находится в равновесии, то есть сила Архимеда равна силе тяжести трубки:
FА = mтр * g,
где mтр — масса трубки.
Выразим из этого уравнения высоту h1:
h1 = (mтр / (S1 * b * pi)) — (S2 * h2 * p2 / (S1 * pi)).
Подставим известные значения:
b = 10 см = 0,1 м, H = 30 см = 0,3 м, pi = 800 кг/м3, p2 = 1000 кг/м3, g = 9,81 м/с2.
S1 = S2 = (π * b2) / 4 = (π * 0,12) / 4 = 0,00785 м2.
mтр = ρтр * Vтр = 8000 * (S1 * H + S2 * H) * b = 8000 * 0,00785 * 0,3 * 2 = 37,44 кг.
Подставляем все значения в формулу для h1:
h1 = (mтр / (S1 * b * pi)) — (S2 * h2 * p2 / (S1 * pi)) = (37,44 / (0,00785 * 0,1 * 800)) — (0,00785 * 0,3 * 1000 / (0,00785 * 800)) ≈ 0,15 м.
Таким образом, расстояние h между уровнями керосина и воды в трубке равно примерно 0,15 м.
