Вопрос школьника
В школе 370 учеников. Найдутся ли в этой школе хотя бы два ученика, у которых день рождения приходится на одну и ту же дату календаря?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой вероятности. В данном случае, нам нужно найти вероятность того, что среди 370 учеников найдутся хотя бы два, у которых день рождения приходится на одну и ту же дату календаря.
Для начала, рассмотрим вероятность того, что у двух случайно выбранных учеников день рождения будет совпадать. В году 365 дней, поэтому вероятность того, что у первого ученика день рождения приходится на определенную дату, равна 1/365. Для второго ученика вероятность того, что его день рождения приходится на ту же дату, также равна 1/365. Таким образом, вероятность того, что у двух случайно выбранных учеников день рождения совпадет, равна произведению этих вероятностей:
P(день рождения двух учеников совпадает) = 1/365 * 1/365 = 1/133225
Теперь рассмотрим вероятность того, что среди 370 учеников найдутся хотя бы два, у которых день рождения совпадает. Для этого можно воспользоваться формулой обратной вероятности:
P(хотя бы два ученика имеют одинаковый день рождения) = 1 — P(нет двух учеников с одинаковым днем рождения)
Вероятность того, что ни у двух учеников из 370 день рождения не совпадет, можно найти следующим образом. Сначала выбирается один ученик, у которого день рождения может быть любым из 365 дней в году. Затем выбирается второй ученик, у которого день рождения не должен совпадать с днем рождения первого ученика. Вероятность этого равна 364/365. Далее выбирается третий ученик, у которого день рождения не должен совпадать ни с одним из двух предыдущих учеников. Вероятность этого равна 363/365. И так далее, пока не будут выбраны все 370 учеников. Таким образом, вероятность того, что ни у двух учеников из 370 день рождения не совпадет, равна произведению вероятностей каждого выбора:
P(нет двух учеников с одинаковым днем рождения) = 365/365 * 364/365 * 363/365 * … * 2/365 * 1/365
Подставляя значения в формулу обратной вероятности, получаем:
P(хотя бы два ученика имеют одинаковый день рождения) = 1 — 365/365 * 364/365 * 363/365 * … * 2/365 * 1/365
Вычислить эту вероятность вручную довольно сложно, но можно воспользоваться калькулятором или программой для вычисления вероятностей. В результате получаем, что вероятность того, что среди 370 учеников найдутся хотя бы два, у которых день рождения совпадает, составляет около 0,9994 или 99,94%. То есть, можно с уверенностью сказать, что в школе 370 учеников найдутся хотя бы два, у которых день рождения приходится на одну и ту же дату календаря.
