Вопрос школьника
В строчку друг за другом выписано 2010 цифр так, что каждая пара соседних цифр образует двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Какая цифра записана первой, если последняя цифра 1?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, какие двузначные числа делятся на 17 или на 23.
Двузначное число делится на 17, если разность произведения цифр на 5 и удвоенной младшей цифры равна 17 или кратна 17. Например, для числа 34: 3*5 — 2*4 = 15 — 8 = 7, что не кратно 17, а для числа 68: 6*5 — 2*8 = 30 — 16 = 14, что также не кратно 17. Однако для числа 51: 5*5 — 2*1 = 23, что кратно 17.
Двузначное число делится на 23, если разность произведения цифр на 3 и суммы цифр равна 23 или кратна 23. Например, для числа 46: 4*3 — (4+6) = 12 — 10 = 2, что не кратно 23, а для числа 69: 6*3 — (6+9) = 18 — 15 = 3, что также не кратно 23. Однако для числа 69: 6*3 — (6+9) = 18 — 15 = 3, что кратно 23.
Теперь вернемся к задаче. Поскольку каждая пара соседних цифр образует число, которое делится на 17 или на 23, то мы можем заключить, что каждая цифра в этой последовательности должна быть частью двузначного числа, которое делится на 17 или на 23.
Поскольку последняя цифра равна 1, то она может быть только младшей цифрой двузначного числа, которое делится на 17. Поэтому мы можем рассмотреть все двузначные числа, которые начинаются с 1 и делятся на 17: 17, 34, 51, 68, 85.
Теперь мы можем начать строить последовательность, начиная с последней цифры 1 и двигаясь назад. Поскольку предыдущая цифра должна быть младшей цифрой двузначного числа, которое делится на 23, то она может быть только 3 или 9 (поскольку 2 и 8 не могут быть младшими цифрами двузначных чисел, которые делятся на 23).
Далее мы можем продолжать строить последовательность, определяя каждую следующую цифру как младшую цифру двузначного числа, которое делится на 17 или на 23 и имеет предыдущую цифру в качестве старшей цифры.
Например, если предыдущая цифра равна 3, то следующая цифра может быть только 4 (поскольку 1 не может быть младшей цифрой двузначного числа, которое делится на 17, а 7 не может быть младшей цифрой двузначного числа, которое делится на 23). Таким образом, мы можем продолжать строить последовательность, пока не дойдем до первой цифры.
В результате мы получим следующую последовательность:
1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1, 9, 4, 3, 8, 5, 1.
Таким образом, первая цифра в этой последовательности равна 1.
