Вопрос школьника
В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС, АВ = AC, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами тетраэдра.
Пусть точка P — середина ребра AD. Тогда, так как AB = AC, то точка P также является серединой ребра BC.
Рассмотрим треугольник BPC. Так как BP = PC и угол BPC = 90 градусов (так как это прямой угол в тетраэдре), то треугольник BPC является равнобедренным и прямоугольным. Значит, высота из вершины P (то есть высота, опущенная на BC) является медианой и медианой и высотой одновременно.
Таким образом, точка M лежит на высоте и медиане треугольника BPC, а значит, она является ортоцентром этого треугольника. То есть, прямая BM является высотой треугольника ADM.
Также, так как DB = DC, то точка P также является серединой ребра CD. Значит, прямая MP является медианой треугольника ADM.
Таким образом, мы получили, что точка M является точкой пересечения высоты BM и медианы MP треугольника ADM. Но известно, что в любом треугольнике высота и медиана, проведенные из одной вершины, перпендикулярны друг другу. Значит, плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой BC, которая содержит ребро ВС.
Таким образом, мы доказали, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.
