Вопрос школьника
В тетраэдре ABCD углы ADB, ADC и BDC прямые. Докажите, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).
Ответ от учителя
Для начала, обозначим стороны тетраэдра как AB, AC, AD, BC, BD и CD. Также обозначим площади граней как S_ABC, S_ABD, S_ADC и S_BDC.
Рассмотрим треугольник ABD. Так как угол ADB прямой, то по теореме Пифагора для треугольника ADB имеем:
AB^2 + AD^2 = BD^2
Аналогично, для треугольника ADC имеем:
AC^2 + AD^2 = CD^2
Так как угол BDC также прямой, то для треугольника BDC имеем:
BC^2 + BD^2 = CD^2
Сложим первые два уравнения и вычтем из них третье:
AB^2 + AC^2 = 2AD^2
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Его площадь можно выразить через стороны как:
S_ABC = 1/2 * AB * AC * sin(∠BAC)
Так как угол BAC является острым, то sin(∠BAC) > 0. Тогда возведем это выражение в квадрат и преобразуем:
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 * sin^2(∠BAC)
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 * (1 — cos^2(∠BAC))
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 — 1/4 * AB^2 * AC^2 * cos^2(∠BAC)
Теперь воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:
cos(∠BAC) = (AB^2 + AC^2 — BC^2) / (2AB * AC)
Тогда:
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 — 1/4 * AB^2 * AC^2 * ((AB^2 + AC^2 — BC^2) / (2AB * AC))^2
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 * (1 — (AB^2 + AC^2 — BC^2)^2 / (4AB^2 * AC^2))
Теперь подставим выражение для AB^2 + AC^2 из предыдущего уравнения:
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 * (1 — (2AD^2 — BC^2)^2 / (16AB^2 * AC^2))
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 * (1 — (4AD^4 — 4AD^2 * BC^2 + BC^4) / (16AB^2 * AC^2))
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 * (1 — AD^4 / (4AB^2 * AC^2) — BC^4 / (4AB^2 * AC^2) + AD^2 * BC^2 / (4AB^2 * AC^2))
Теперь воспользуемся уравнениями для квадратов сторон:
AD^2 = (AB^2 + AC^2) / 2
BC^2 = (AB^2 + AC^2 — 2AD^2)
Подставим их в предыдущее выражение:
S_ABC^2 = 1/4 * AB^2 * AC^2 * (1 — 1/8 — 1/8 + 1/4)
S_ABC^2 = 1/8 * AB^2 * AC^2
Теперь сложим квадраты площадей остальных граней:
S_ABD^2 + S_ADC^2 + S_BDC^2 = 1/8 * AB^2 * AD^2 + 1/8 * AC^2 * AD^2 + 1/8 * AB^2 * BC^2
S_ABD^2 + S_ADC^2 + S_BDC^2 = 1/8 * AD^2 * (AB^2 + AC^2) + 1/8 * AB^2 * (AC^2 — 2AD^2)
S_ABD^2 + S_ADC^2 + S_BDC^2 = 1/8 * AD^2 * (AB^2 + AC^2) + 1/8 * AB^2 * AC^2 — 1/4 * AB^2 * AD^2
Теперь подставим выражение для AD^2 из предыдущего уравнения:
S_ABD^2 + S_ADC^2 + S_BDC^2 = 1/8 * (AB^2 + AC^2)^2 — 1/8 * AB^2 * AC^2
Таким образом, мы получили, что:
S_ABC^2 + S_ABD^2 + S_ADC^2 + S_BDC^2 = 1/8 * (AB^2 + AC^2)^2
Но мы знаем, что:
AB^2 + AC^2 = 2AD^2
Тогда:
S_ABC^2 + S_ABD^2 + S_ADC^2 + S_BDC^2 = 1/2 * AD^4
Изначально мы доказали, что:
AB^2 + AC^2 = 2AD^2
Тогда:
S_ABC^2 + S_ABD^2 + S_ADC^2 + S_BDC^2 = AD^4 / 2
Таким образом, мы доказали, что квадрат площади грани ABC равен сумме квадратов площадей остальных граней.
