Вопрос школьника
В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А1, В1 и C1. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и CC1 пересекаются в одной точке
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной плоскости, так как они являются пересечениями биссектрис трех углов тетраэдра. Пусть точки А1, В1 и С1 лежат на плоскости P.
Рассмотрим отрезки АА1 и ВВ1. Они лежат в плоскости P и пересекаются в точке X, так как они являются биссектрисами углов тетраэдра. Аналогично, отрезки ВВ1 и СС1 пересекаются в точке Y, а отрезки АА1 и СС1 пересекаются в точке Z.
Нам нужно доказать, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой. Для этого достаточно показать, что отрезки XY и XZ лежат в одной плоскости.
Рассмотрим плоскость, проходящую через точки X и Y. Она пересекает плоскость P по прямой, проходящей через точки А1 и В1. Но так как А1 и В1 лежат на отрезке ВС, то эта прямая лежит в плоскости ВСА. Аналогично, плоскость, проходящая через точки X и Z, пересекает плоскость P по прямой, лежащей в плоскости АВС.
Таким образом, отрезки XY и XZ лежат в плоскостях ВСА и АВС соответственно, которые пересекаются по прямой АС. Значит, точки X, Y и Z лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
