Вопрос школьника
В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA =90°, DA=20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобятся знания о тригонометрических функциях и формулах для нахождения площади треугольника.
а) Рассмотрим треугольник ABD. Из него можно найти угол BAD, так как сумма углов треугольника равна 180°:
∠BAD = 180° — ∠ADB — ∠BDA = 180° — 54° — 180°/3 = 36°
Заметим, что треугольник ABD является прямоугольным, так как ∠CDA = 90°. Из него можно найти длину AB, используя теорему Пифагора:
AB² = AD² — BD² = 20² — 18² = 256
AB = √256 = 16
Аналогично, рассмотрим треугольник BCD. Из него можно найти угол CBD:
∠CBD = 180° — ∠BDC — ∠BCD = 180° — 72° — 180°/3 = 36°
Заметим, что треугольник BCD является прямоугольным, так как ∠CDA = 90°. Из него можно найти длину BC:
BC² = BD² + DC² = 18² + 21² = 765
BC = √765 ≈ 27.67
Теперь рассмотрим треугольник CAD. Из него можно найти угол ACD:
∠ACD = 180° — ∠CDA — ∠ADC = 180° — 90° — 180°/3 = 30°
Заметим, что треугольник CAD не является прямоугольным, поэтому нам нужно использовать тригонометрические функции. Обозначим угол CAD через α. Тогда:
sin α = CD/AD = 21/20
α ≈ 57.47°
Теперь мы знаем все углы треугольника ABC и две его стороны (AB и BC). Из закона синусов можно найти третью сторону AC:
AC/sin ∠ABC = BC/sin ∠ACB = AB/sin ∠BAC
AC/sin 60° = BC/sin 36° = 16/sin 84°
AC ≈ 23.57
Таким образом, ребра основания ABC данного тетраэдра равны AB = 16 см, BC ≈ 27.67 см и AC ≈ 23.57 см.
б) Чтобы найти площадь боковой грани тетраэдра, нам нужно найти площадь треугольника, образованного этой гранью. Рассмотрим, например, боковую грань ADB. Мы уже знаем длины ее сторон: AD = 20 см, BD = 18 см и AB = 16 см. Из формулы Герона можно найти площадь треугольника ADB:
p = (AD + BD + AB)/2 = 27
S(ADB) = √(p(p-AD)(p-BD)(p-AB)) ≈ 142.27 см²
Аналогично можно найти площади остальных боковых граней. Таким образом, площади всех боковых граней тетраэдра равны:
S(ADB) ≈ 142.27 см²
S(BDC) ≈ 201.86 см²
S(CDA) ≈ 235.70 см²
S(CAB) ≈ 174.17 см²
Итого, мы нашли ребра основания ABC данного тетраэдра и площади всех его боковых граней.
