Вопрос школьника
В тетраэдре РАВС ребро PB ⊥ (ABC) и РВ = АВ = ВС = СА. Нарисуйте на его поверхности фигуру, каждая точка которой равноудалена от:
а) А и С;
б) В и С;
в) Р и В.
Ответ от учителя
а) Поскольку РВ = АВ = ВС = СА, то тетраэдр РАВС является правильным. Рассмотрим плоскость, проходящую через ребро РВ и середину ребра АС. Эта плоскость будет перпендикулярна основанию ABC и проходить через его середину. Таким образом, она разделит высоту тетраэдра на две равные части. Пусть точка М — середина ребра АС. Тогда искомая фигура — это сфера с центром в точке М и радиусом, равным половине высоты тетраэдра.
б) Аналогично пункту а), рассмотрим плоскость, проходящую через ребро ВС и середину ребра АВ. Она также будет перпендикулярна основанию ABC и проходить через его середину. Пусть точка Н — середина ребра АВ. Тогда искомая фигура — это сфера с центром в точке Н и радиусом, равным половине высоты тетраэдра.
в) Рассмотрим плоскость, проходящую через ребро РВ и середину ребра АС, как в пункте а). Пусть точка К — середина ребра РВ. Тогда искомая фигура — это сфера с центром в точке К и радиусом, равным половине ребра РВ.
