Вопрос школьника
В том же опыте цилиндры связаны нитью другой длины. При этом оказалось, что алюминиевый цилиндр при вращении стержня расположился на расстоянии 9 см от оси вращения. Какова длина нити?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать закон сохранения энергии. При вращении цилиндра на нити потенциальная энергия превращается в кинетическую. При этом момент инерции цилиндра равен:
I = (1/2) * m * r^2,
где m — масса цилиндра, r — расстояние от центра масс до оси вращения.
Кинетическая энергия цилиндра равна:
E = (1/2) * I * w^2,
где w — угловая скорость цилиндра.
При отпускании цилиндра на нити его потенциальная энергия превращается в кинетическую, а затем в потенциальную энергию стержня и цилиндра. При этом потенциальная энергия цилиндра равна:
Ep = m * g * h,
где g — ускорение свободного падения, h — высота цилиндра над осью вращения.
Потенциальная энергия стержня равна:
Es = m * g * L * sin(a),
где L — длина нити, a — угол между нитью и вертикалью.
Таким образом, закон сохранения энергии имеет вид:
Ep = Es + E,
m * g * h = m * g * L * sin(a) + (1/2) * I * w^2.
Подставляя значения момента инерции и расстояния цилиндра от оси вращения, получаем:
m * g * h = m * g * L * sin(a) + (1/2) * (1/2) * m * (0.09)^2 * w^2,
где m = 0.5 кг (масса цилиндра), g = 9.8 м/с^2 (ускорение свободного падения).
Угловая скорость цилиндра можно выразить через период колебаний:
w = 2 * pi / T,
где T — период колебаний.
Таким образом, уравнение закона сохранения энергии принимает вид:
0.5 * 9.8 * h = 0.5 * 9.8 * L * sin(a) + 0.5 * 0.25 * (0.09)^2 * (2 * pi / T)^2.
Для решения этого уравнения необходимо знать значение угла a. Оно может быть найдено из геометрических соображений. Рассмотрим треугольник, образованный нитью, вертикалью и горизонталью. Угол между нитью и вертикалью равен углу, образованному нитью и горизонталью, так как нить натянута. Этот угол можно найти, используя теорему косинусов:
cos(a) = (L/2) / r,
где r — расстояние от точки крепления нити до оси вращения.
Из этого уравнения можно выразить sin(a):
sin(a) = sqrt(1 — cos^2(a)) = sqrt(1 — (L/2r)^2).
Подставляя это значение в уравнение закона сохранения энергии, получаем:
0.5 * 9.8 * h = 0.5 * 9.8 * L * sqrt(1 — (L/2r)^2) + 0.5 * 0.25 * (0.09)^2 * (2 * pi / T)^2.
Это уравнение можно решить численно, используя методы численного анализа. Например, можно использовать метод Ньютона-Рафсона. После нахождения значения L можно найти период колебаний цилиндра:
T = 2 * pi * sqrt(I / (m * g * L * sin(a))).
Таким образом, длина нити равна найденному значению L.
