Вопрос школьника
В трапеции ABCD боковая сторона АВ равна 5, а основание ВС равно 4. Какую из сторон трапеции, ВС или CD, пересекает биссектриса угла А этой трапеции?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить свойства биссектрисы угла. Биссектриса угла делит его на два равных угла и пересекает противоположную сторону в точке, которая делит ее на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
В нашем случае биссектриса угла А делит трапецию на две равные части и пересекает сторону ВС в точке М, которая делит ее на отрезки BM и MC, пропорциональные сторонам AB и AD соответственно.
Чтобы найти отношение BM к MC, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольников ABM и AMC:
AB^2 — AM^2 = BM^2
AC^2 — AM^2 = MC^2
Заметим, что AB = CD (так как это параллельные стороны трапеции), а также что AM является высотой треугольника ABC, поэтому AM^2 = AB*BC/2.
Подставляя эти значения, получаем:
CD^2 — AB*BC/2 = BM^2
BC^2 — AB*BC/2 = MC^2
Вычитая второе уравнение из первого, получаем:
CD^2 — BC^2 = BM^2 — MC^2
Заметим, что CD — BC = AD — AB (так как это параллельные стороны трапеции), а также что BM/MC = AB/AD (по свойству биссектрисы угла). Подставляя эти значения, получаем:
(AD — AB)(AD + AB) = AB^2 — MC^2
Раскрывая скобки, получаем:
AD^2 — AB^2 = AB^2 — MC^2
Отсюда следует, что MC = AD, то есть биссектриса угла А пересекает сторону CD.
