Вопрос школьника
В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла BAD, ∠D — 60°, периметр трапеции равен 40 см. Найдите основания трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны AB и CD, а диагональ AC равна x. Так как AC является биссектрисой угла BAD, то угол BAC равен углу CAD. Обозначим этот угол через α. Тогда угол BCD равен 180° — α.
Так как AC перпендикулярна CD, то треугольник ACD является прямоугольным. Из него можно выразить CD через x и α:
CD = x * sin(α)
Также из треугольника BAC можно выразить AB через x и α:
AB = 2x * cos(α)
Теперь можно выразить периметр трапеции через x и α:
AB + BC + CD + DA = 2x * cos(α) + BC + x * sin(α) + DA = 40
Так как угол BCD равен 180° — α, то угол BDC равен 120°. Также из треугольника BCD можно выразить BC через x:
BC = x * sin(120°) = x * √3 / 2
Из уравнения периметра трапеции можно выразить DA через x и α:
DA = 40 — 2x * cos(α) — x * sin(α) — BC
Подставляя выражения для BC и DA в уравнение периметра, получаем:
2x * cos(α) + x * sin(α) + x * √3 / 2 + 40 — 2x * cos(α) — x * sin(α) — x * √3 / 2 = 40
Упрощая, получаем:
x * sin(α) = 10
Теперь можно выразить AB и CD через x:
AB = 2x * cos(α) = 2x * √(1 — sin^2(α)) = 2x * √(1 — 100) = 2x * √(-99)
CD = x * sin(α) = 10
Таким образом, основания трапеции равны:
AB = 2x * √(-99)
CD = 10
Ответ: AB = 2x * √(-99), CD = 10.
