Вопрос школьника
В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы площади треугольника: S = 1/2 * a * h, где a — основание треугольника, h — высота, опущенная на это основание.
В данной задаче треугольник АОВ имеет основание АВ, которое является диагональю трапеции. Нам нужно найти высоту треугольника, опущенную на это основание.
Заметим, что треугольник АОС подобен треугольнику ВОD, так как у них соответственные углы равны (угол АОС равен углу ВОD, так как это вертикальные углы, а угол ОАС равен углу ОBD, так как это углы, образованные пересечением диагоналей). Также заметим, что отрезок ОС является высотой треугольника ВОD, опущенной на его основание CD.
Из подобия треугольников АОС и ВОD следует, что соотношение сторон этих треугольников равно соотношению высот, опущенных на эти стороны. То есть:
AO/BO = OC/OD
Подставим известные значения:
AO/BO = 1 (так как диагонали трапеции равны)
OC/OD = 5/7 (так как расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см, а отрезок ОD равен половине боковой стороны трапеции, то есть 6/2 = 3 см, отрезок ОС равен 12 — 3 = 9 см)
Получаем:
1 = 5/7 * BO/OD
BO/OD = 7/5
Теперь мы можем найти высоту треугольника АОВ, опущенную на основание АВ:
h = OD * BO/OD = 5 * 7/5 = 7 см
И, наконец, можем найти площадь треугольника АОВ:
S = 1/2 * AB * h = 1/2 * 12 * 7 = 42 см²
Ответ: площадь треугольника АОВ равна 42 см².
