Вопрос школьника
В трапеции ABCD известно, что АВ = CD = 9 см, ВС = 10 см, AD = 14 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту трапеции, проведенную из вершины А на основание CD, а затем использовать определения тригонометрических функций для угла А.
1. Найдем высоту трапеции из вершины А на основание CD. Обозначим эту высоту через h. Так как трапеция ABCD является прямоугольной, то высота h является биссектрисой прямого угла BCD. Поэтому мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника BCD:
BC^2 + CD^2 = BD^2
Так как AB = CD = 9 см, то BD = 2AB = 18 см. Подставляя известные значения, получаем:
BC^2 + 9^2 = 18^2
BC^2 = 18^2 — 9^2 = 279
BC = √279 ≈ 16.71 см
Теперь мы можем найти высоту h, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACH:
h^2 + BC^2 = AH^2
Так как AC = BD = 18 см, то AH = 2AC = 36 см. Подставляя известные значения, получаем:
h^2 + 279 = 36^2
h^2 = 36^2 — 279 = 837
h = √837 ≈ 28.94 см
2. Теперь мы можем использовать определения тригонометрических функций для угла А. Обозначим угол А через α.
Синус угла А равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
sin α = h / AB = 28.94 / 9 ≈ 3.22
Косинус угла А равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
cos α = BC / AB = 16.71 / 9 ≈ 1.86
Тангенс угла А равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
tan α = h / BC = 28.94 / 16.71 ≈ 1.73
Котангенс угла А равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:
cot α = BC / h = 16.71 / 28.94 ≈ 0.58
Таким образом, мы нашли синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции ABCD.
