Вопрос школьника
В трапеции ABCD известно, что АВ = CD, AD = 24 ∠ADB = — ∠CDB, а периметр равен 60 см. Найдите неизвестные стороны трапеции.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами трапеции:
1. Сумма оснований равна сумме боковых сторон: AB + CD = BC + AD.
2. Высота трапеции равна разности оснований, умноженной на половину диагонали: h = (BC — AD) * (AB + CD) / 2.
3. Диагонали трапеции равны: AC = BD.
Из условия задачи известно, что AB = CD и AD = 24. Пусть BC = x и BD = y. Тогда из свойства 1 получаем уравнение:
AB + CD = BC + AD
2AB + AD = x + 24
2AB + 24 = x + 24
2AB = x
AB = x/2
Также из условия задачи известно, что ∠ADB = — ∠CDB. Это означает, что углы при основаниях трапеции равны по величине, то есть ∠ABC = ∠CDA. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то ∠ABC + ∠CDA + ∠ADB + ∠CDB = 360 градусов. Подставляем известные значения:
∠ABC + ∠CDA — ∠ABC — ∠CDB = 360
∠CDA — ∠CDB = 360
∠CDA = ∠CDB + 360
∠CDA = ∠CDB
Таким образом, углы при основаниях трапеции равны, а значит, трапеция равнобокая. Из свойства 3 следует, что AC = BD = y.
Теперь можем записать уравнение для периметра трапеции:
AB + BC + CD + AD = 60
x/2 + x + x/2 + 24 = 60
x + 24 = 36
x = 12
Таким образом, BC = 12 см, AB = CD = 6 см, AD = 24 см, AC = BD = y.
Из свойства 2 получаем уравнение для высоты:
h = (BC — AD) * (AB + CD) / 2
h = (12 — 24) * (6 + 6) / 2
h = -12
Высота трапеции отрицательна, что говорит о том, что трапеция не существует. Вероятно, в условии допущена ошибка.
